Question

已知橢圓C與雙曲線x²-y²=1共焦點，且下頂點到直線x+y-2=0的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若一直線l₂：y=kx+m與橢圓C相交于A、B（A、B不是橢圓的頂點）兩點，以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點，求證：直線l₂過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為橢圓C與雙曲線x²-y²=1共焦點，所以可根據雙曲線的焦點坐標求出橢圓中的c值，再根據下頂點到直線x+y-2=0的距離為，可求出b的值，利用a，b，c的關系式，就可得到a的值，這樣橢圓C的方程可得．
（2）把y=kx+m與（10中求出的橢圓方程聯立，求出x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，再根據以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點，所以AQ⊥BQ，求出m的值，就可判斷出直線l₂過定點，根據點斜式，求出該定點的坐標．
解答：解：（1）∵
∴橢圓C的焦點為
設橢圓的方程為，
由題意得．∴．
∴橢圓的方程為．
（2）橢圓的上頂點為Q（0，1），
由方程組，
即
∵直線l₂：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點，
∴，
即3k²-m²+1＞0．
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，
∴，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=．
∵以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點Q（0，1），
∴AQ⊥BQ，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴，
化簡得2m²-m-1=0，
∴．
當m=1時，直線l₂：y=kx+1過定點Q（0，1），與已知矛盾；
當時，滿足3k²-m²+1＞0，
此時直線過定點，
∴直線l₂過定點．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關系的判斷，做題時要認真分析．