Question

【題目】如圖，直二面角D﹣AB﹣E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE ∵二面角D﹣AB﹣E為直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE
（Ⅱ）連接BD交AC交于G，連接FG
∵正方形ABCD邊長為2．∴BG⊥AC，BG=
∵BF⊥平面ACE．由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC．
∴∠BGF是二面B﹣AC﹣E的平面角
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC
又∵AE=EB，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=
又∵Rt△BCE中，EC=
∴BF= =
∴Rt△BFG中sin∠BGF= =
∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值等于
（Ⅲ）過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1
∵二面角D﹣AB﹣E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD
設D到平面ACE的距離為h，由VD﹣ACE=VE﹣ACD ， 可得h= =
∴點D到平面ACE的距離為 ．

【解析】（Ⅰ）欲證AE⊥平面BCE，由題設條件知可先證BF⊥AE，CB⊥AE，再由線面垂直的判定定理得出線面垂直即可；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值，需要先作角，連接BD交AC交于G，連接FG，可證得∠BGF是二面B﹣AC﹣E的平面角，在△BFG中求解即可；（Ⅲ）由題設，利用由VD﹣ACE=VE﹣ACD ， 求點D到平面ACE的距離．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．