Question

【題目】如圖，在半徑為3m的 圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長AB=xm，圓柱的體積為Vm3 ．
（1）寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？最大體積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA= ，

設圓柱底面半徑為r，則 =2πr，

即4π2r2=9﹣x2，

∴V=πr2x= ，其中0＜x＜3

（2）解：由V′= =0及0＜x＜3，得x= ，

列表如下：

x	（0， ）		（ ，3）
V′	+	0	﹣
V		極大值

所以當x= 時，V有極大值，也是最大值為 ．…（14分）

答：當x為 m時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大體積是 m3．

【解析】（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA= ，設圓柱底面半徑為r，則 =2πr，即可得出r．利用V=πr2x（其中0＜x＜30）即可得出．（2）利用導數V′，得出其單調性，即可得出結論．