Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 通項公式為 ． （Ⅰ）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比較f（n）與1的大小，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；當n≥3時，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用數學歸納法證明：
①由（Ⅰ）當n=3時，f（n）＜1；
②假設n=k（k≥3）時，f（n）＜1，即 ，那么 = = = ，
所以當n=k+1時，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，當n≥3時，f（n）＜1．
所以當n=1，和n=2時，f（n）＞1；當n≥3時，f（n）＜1
【解析】（1）此問根據通項公式計算出前n項的和．當n=1時，f（1）=s2；當n=2時，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；當n=3時，f（3）=s6﹣s2 ． （2）當n=1時， ≥1．當n≥2時，f（n）中沒有a1 ， 因此都小于1．
【考點精析】掌握數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．