Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知 = ．
（1）求角A的大小；
（2）當a=6時，求△ABC面積的最大值，并指出面積最大時△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，

又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，

∴sin（A﹣B）=sinB+sinC，

∴sin（A﹣B）=sinB+sin（A+B），

∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，

∴ ，

∵A∈（0，π），

∴

（2）解：解法一：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得36=b2+c2+bc，

∵b2+c2≥2bc，

∴36=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤12，

∴ ，

當且僅當 時，“=”成立，

∴△ABC面積的最大值為 ，此時△ABC為等腰三角形．

解法二：∴

= = ，

= ， ，

由正弦定理 ，

∴ ，

當 ，即 時， ，

∴△ABC面積的最大值為 ，此時△ABC為等腰三角形

【解析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和與差的正弦函數公式化簡已知等式可得sinB+2cosAsinB=0，又sinB≠0，可得 ，結合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．（2）解法一：由余弦定理及基本不等式可得bc≤12，利用三角形面積公式即可得解△ABC面積的最大值，且可得△ABC為等腰三角形；解法二：由三角形面積公式，正弦定理，三角形內角和定理可得S= ， ，由正弦定理 ，可得R的值，從而利用正弦函數的性質可求△ABC面積的最大值，即可判斷△ABC為等腰三角形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．