Question

【題目】在平面直角坐標系中，點點關于原點對稱的點為二次函數的圖像經過點和點回答以下問題：

（1）用表示和的圖像的頂點的縱坐標；

（2）證明：若二次函數的圖像上的點滿足，則向量與的數量積大于.

（3）當變化時，求中二次函數頂點縱坐標的最大值，并求出此時的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見詳解（3），

【解析】

（1）根據A點坐標得出B點坐標，將A,B坐標代入，解得代入，配方即得；（2）用坐標表示出，根據和函數單調性，即得；（3）由和基本不等式可得。

（1）由題得，點，且有，整理可得，即，則，整理得，頂點坐標為，則頂點的縱坐標為.

（2）證明：由題得，

，設，當時，，則為單調遞增函數，，又，故，即得證.

（3）由（1）得頂點縱坐標為，又，且，則，，等號成立時，則，故中二次函數頂點縱坐標的最大值為，此時.