Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形， ， ， 底面， ， ， 是的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結論；（2）在點建立空間直角坐標系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.

試題解析：（Ⅰ） 平面平面

因為,所以,所以,所以,又，所以平面.因為平面，所以平面平面．

（Ⅱ）如圖，

以點為原點， 分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，則.設，則

取，則為面法向量．

設為面的法向量，則，

即，取，則

依題意，則．于是．

設直線與平面所成角為，則

即直線與平面所成角的正弦值為．