【題目】如圖所示，在四面體
中，
，平面
平面
，
，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）設
為棱
的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
（1）根據面面垂直的性質得到
平面
，從而得到
，利用勾股定理得到
，利用線面垂直的判定定理證得
平面
；
（2）設
，利用椎體的體積公式求得
，利用導數研究函數的單調性，從而求得
時，四面體
的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.
（1）證明：因為
，平面
平面，
平面
平面
，
平面，
所以平面，
因為
平面，所以.
因為
，所以
，
所以，
因為
，所以平面.
（2）解：設，則
，
四面體的體積 .
，
當
時，
，
單調遞增；
當
時，
，單調遞減.
故當時，四面體的體積取得最大值.
以
為坐標原點，建立空間直角坐標系
，
則
，
，
，
，
.
設平面
的法向量為
，
則
，即
，
令
，得
，
同理可得平面
的一個法向量為
，
則
.
由圖可知，二面角
為銳角，故二面角的余弦值為.
王后雄學案教材完全解讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如上圖所示，在正方體
中， 
分別是棱
的中點， 
的頂點
在棱
與棱
上運動，有以下四個命題：
A．平面
； B．平面
⊥平面
；
C． 
在底面
上的射影圖形的面積為定值；
D． 
在側面
上的射影圖形是三角形．其中正確命題的序號是__________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點在拋物線
的準線上，且橢圓的短軸長為2，
分別為橢圓的左，右焦點，
分別為橢圓的左，右頂點，設點
在第一象限，且
軸，連接
交橢圓于點
，直線的斜率為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若三角形
的面積等于四邊形
的面積，求的值；
（Ⅲ）設點
為
的中點，射線
（
為原點）與橢圓交于點
，滿足
，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某公園內有兩條道路
，
，現計劃在上選擇一點
，新建道路
，并把
所在的區域改造成綠化區域．已知
，
．
（1）若綠化區域的面積為1
，求道路的長度；
（2）若綠化區域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設
（
），當
為何值時，該計劃所需總費用最小？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在平行于
軸的直線
上，且與
軸的交點為
，動點
滿足
平行于軸，且
.
（1）求出點的軌跡方程.
（2）設點
，
，求
的最小值，并寫出此時點的坐標.
（3）過點
的直線與點的軌跡交于
.
兩點，求證.兩點的橫坐標乘積為定值.
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