Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為且過(guò)點(diǎn)橢圓C與軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△OMN面積的最大值；

(3)求證:直線(xiàn)AN和直線(xiàn)BM交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為常值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題可知，橢圓過(guò)點(diǎn)所以將點(diǎn)代入可得，再結(jié)合橢圓的關(guān)系式即可求解

（2）聯(lián)立橢圓和直線(xiàn)的方程，表示出韋達(dá)定理，再表示出弦長(zhǎng)公式，用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示出點(diǎn)到直線(xiàn)距離，進(jìn)一步化簡(jiǎn)求值即可

（3）結(jié)合（2）中的韋達(dá)定理，表示出直線(xiàn)與直線(xiàn)方程，再聯(lián)立求解即可

（1）由題可知，又橢圓過(guò)點(diǎn)所以將點(diǎn)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，結(jié)合橢圓的關(guān)系式，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，

化簡(jiǎn)得，由△，

解得，由韋達(dá)定理，得，，

，點(diǎn)到直線(xiàn)距離，則

,令，，則

可代換為

當(dāng)時(shí)，取到最大值，

（3）借用（2）中的韋達(dá)定理，直線(xiàn)的方程①

直線(xiàn)的方程②，聯(lián)立①②，

得

即直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在定直線(xiàn)上．