Question

【題目】若正項數列滿足：，則稱此數列為“比差等數列”．

（1）試寫出一個“比差等數列”的前項；

（2）設數列是一個“比差等數列”，問是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，請說明理由；

（3）已知數列是一個“比差等數列”，為其前項的和，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）、、（答案不唯一）；（2）存在，且的最小值為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據“比差等數列”的定義得出，由，可得出，然后對取一個大于的值，可得出一個符合條件的“比差等數列”的前項；

（2）由題意得出，且，利用基本不等式可求出的最小值；

（3）由可推出，利用數學歸納法證明，由此得出，、、、，然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.

（1）由于數列為“比差等數列”，則，可得.

由于數列每項都是正數，則，可得出.

若，則，.

因此，“比差等數列”的前項可以是、、（答案不唯一）；

（2）由（1）可知，，則，

，

當且僅當時，等號成立，因此，有最小值；

（3）由題意可得.

由于雙勾函數在上是增函數，

，，且，則，

同理可得.

猜想，當時，.

假設當時，猜想成立，即；

那么當時，由于函數在上是增函數，

且，

所以，.

由歸納原理可知，當時，.

于是有，、、、，

將上述不等式全部相加得.

因此，.