Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中點．

（1）求證：AE⊥B1C；

（2）求異面直線AE與A1C所成的角的大小；

（3）若G為C1C中點，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由BB1⊥面ABC及線面垂直的性質可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中點，及等腰三角形三線合一，可得AE⊥BC，結合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB1C1C，進而由線面垂直的性質得到AE⊥B1C；

（2）取B1C1的中點E1，連A1E1，E1C，根據異面直線夾角定義可得，∠E1A1C是異面直線A與A1C所成的角，設AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．

（3）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC，由直三棱錐的側面與底面垂直，結合面面垂直的性質定理，可得EP⊥平面ACC1A1，進而由二面角的定義可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

證明：（1）因為BB1⊥面ABC，AE面ABC，所以AE⊥BB1

由AB=AC，E為BC的中點得到AE⊥BC

∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C

∴AE⊥B1C

解：（2）取B1C1的中點E1，連A1E1，E1C，

則AE∥A1E1，

∴∠E1A1C是異面直線AE與A1C所成的角．

設AC=AB=AA1=2，則由∠BAC=90°，

可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=

∴E1C==

∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==

所以異面直線AE與A1C所成的角為．

（3）連接AG，設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC

又∵平面ABC⊥平面ACC1A1

∴EP⊥平面ACC1A1

而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．

∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==

所以二面角C-AG-E的平面角正切值是