Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

（3）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先將問題轉化為在[1，2]上恒成立，然后將其轉化為二次函數的圖像及其性質即可得出所求的結果；（2）首先假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，并求出其導函數，然后對其進行分類討論：①當a≤0時；②當時；③當時，分別利用導數研究函數的單調性并求出其最值即可得出所求的結果；（3）首先令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min，然后令，并求出其導函數，進而得出其最大值，最后得出不等式成立.

試題解析：（1）在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得.

（2）假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增

∴，a=e2，滿足條件．

③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），

綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，，

當0＜x≤e時，'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調遞增∴

∴，即．