Question

已知向量

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），函數f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算將f（x）化簡為f（x）=sin2x-cos2x，從而可求f(-

π

4

)的值；
（2）利用f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，從而可求其最大值和最小值及求出相應的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（sinx，cos（π-x）），

b

=（2cosx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+1=2sinxcosx-2cos²x+1
=sin2x-cos2x，…（4分）
則f(-

π

4

)=-1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．…（7分）
因為x∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．…（9分）
則當2x-

π

4

=

π

2

時，即x=

3π

8

時，f（x）的最大值是

2

；         …（11分）
當2x-

π

4

=-

π

4

時，即x=0時，f（x）的最小值是-1．…（13分）

點評：本題考查正弦函數的定義域和值域，著重考查三角函數的最值，屬于中檔題．