Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ）與

b

=（

3

，1），其中θ∈（0，

π

2

）
（1）若

a

∥

b

，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(

a

+ 

b

)2，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過向量的平行，推出sinθ=

3

cosθ，根據(jù)θ的范圍，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出函數(shù)f（θ），然后化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得到答案．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinθ-

3

cosθ=0
求得tanθ=

3

又∵θ∈（0，

π

2

）∴θ=

π

3

sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

（本問也可以結(jié)合sin²θ+cos²θ=1或利用2sin（θ-

π

2

）=0來求解．
（2）f（θ）=(sinθ+

3

)2+（cosθ+1）²
=2

3

sinθ+2cosθ+5
=4sin（θ+

π

6

）+5
又∵θ∈（0，

π

2

），θ+

π

6

∈（

π

6

，

2π

3

），

1

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1
7＜f（θ）≤9
即函數(shù)f（θ）的值域?yàn)椋?，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，向量平行的應(yīng)用，注意角的范圍三角函數(shù)的符號(hào)，函數(shù)值的確定，角的變換的技巧，考查計(jì)算能力，常考題型．