Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（2，1），滿足

a

∥

b

，其中θ∈(0，

π

2

)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

的值．

Answer 1

分析：（I）利用共線向量的坐標運算即可求得tanθ值；
（Ⅱ）利用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數間的基本關系將所求關系式化簡為

sinθ+2cosθ

cosθ-sinθ

，再弦化切即可．

解答：解：（I）∵

a

∥

b

，
∴

sinθ

2

=

cosθ

1

…2分
∴tanθ=2…4分
（Ⅱ）

2 sin(θ+ π 4 )(sinθ+2cosθ)

cos2θ

=

2 (sinθ• 2 2 + 2 2 cosθ)(sinθ+2cosθ)

cos2θ-sin2θ

…6分
=

(sinθ+cosθ)(sinθ+2cosθ)

(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

…8分
=

sinθ+2cosθ

cosθ-sinθ

=

tanθ+2

1-tanθ

…10分
=

2+2

1-2

=-4…12分

點評：本題考查共線向量的坐標運算，考查用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數間的基本關系，屬于中檔題．