Question

如圖所示，已知橢圓E經過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率e＝，斜率為2的直線l過點A(2,3)．

(1)求橢圓E的方程；
(2)在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）＝1
（2）不存在，見解析

解：(1)設橢圓E的方程為＝1(a＞b＞0)，
由題意e＝＝，＝1，
又∵c²＝a²－b²，
解得：c＝2，a＝4，b＝2，
∴橢圓E的方程為＝1．
(2)假設橢圓E上存在關于直線l對稱的相異兩點P、Q，令P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，且PQ的中點為R(x₀，y₀)．
∵PQ⊥l，
∴k_PQ＝＝－，
又∵
兩式相減得：．
∴＝－＝－×(－)＝，
即＝，③
又∵R(x₀，y₀)在直線l上，
∴y₀＝2x₀－1，④
由③④解得：x₀＝2，y₀＝3，
所以點R與點A是同一點，這與假設矛盾，
故橢圓E上不存在關于直線l對稱的相異兩點．