Question

在直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O,橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）(x+2)²+(y-2)²=8.   （2）存在，Q

(1)設圓C的圓心為A(p,q),
則圓C的方程為(x-p)²+(y-q)²=8.
因為直線y=x與圓C相切于坐標原點O,
所以O在圓C上,且直線OA垂直于直線y=x.
于是有⇒或
由于點A(p,q)在第二象限,故p<0.
所以圓C的方程為(x+2)²+(y-2)²=8.
(2)因為橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點距離之和為10,所以2a=10⇒a=5,故橢圓右焦點為F(4,0).
若圓C上存在異于原點的點Q(x₀,y₀)到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長,則有|QF|=|OF|,于是(x₀-4)²+=4²,且+≠0.①
由于Q(x₀,y₀)在圓上,故有(x₀+2)²+(y₀-2)²=8.②
解①和②得
故圓C上存在滿足條件的點Q.