Question

橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F₁,F₂,焦距為2,過F₁作垂直于橢圓長軸的弦PQ,|PQ|為3.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若過F₁的直線l交橢圓于A,B兩點,判斷是否存在直線l使得∠AF₂B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

(1) +=1   (2)存在，斜率k的取值范圍為-<k<

解:(1)依題意
解得a²=4,b²=3,
∴橢圓的方程為+=1.
(2)①當過F₁的直線AB的斜率不存在時,
不妨取A（-1,）,B（-1,-）
則·=,顯然∠AF₂B不為鈍角.
②直線l的斜率為k,l方程為y=k(x+1),
由
消去y,整理得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0.
∵直線l與橢圓交于兩點,
∴Δ=(8k²)²-4(3+4k²)(4k²-12)=4×36(k²+1)>0.
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則x₁+x₂=-,x₁·x₂=.
=(x₁-1,y₁),=(x₂-1,y₂).
∵∠AF₂B為鈍角,
∴·<0.
即(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂<0,
整理得(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1<0.
即(k²+1)·-(k²-1)·+k²+1<0,
整理得7k²<9,
解得-<k<.
∴存在滿足條件的直線l,
其斜率k的取值范圍為-<k<.