Question

已知點是拋物線上不同的兩點，點在拋物線的準線上，且焦點
到直線的距離為.
(I）求拋物線的方程；
（2）現給出以下三個論斷：①直線過焦點；②直線過原點；③直線平行軸．
請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題，并加以證明.

Answer 1

（1） ；（2）參考解析

試題分析：（1）由點F到直線的距離為可求得拋物線中.從而得到拋物線方程.
（2）根據題意共有三種情況：i) ①直線過焦點；②直線過原點.由直線AB與拋物線的方程聯立結合韋達定理，表示出點D,B的坐標即可得到③直線平行軸.ii) ①直線過焦點;③直線平行軸同樣是表達出點D,B的坐標即可得到點A,O,D三點共線，即可得到結論.iii) ②直線過原點；③直線平行軸表達出點A,B的坐標關系即可得到點A,F,B三點共線，即得到結論.
（I）因為， 依題意得,             2分
解得，所以拋物線的方程為                       4分
（2）①命題：若直線過焦點，且直線過原點，則直線平行軸.
5分
設直線的方程為，，                  6分
由 得，
，                                            8分
直線的方程為，                                9分
所以點的坐標為，
，                            12分
直線平行于軸．                               13分
②命題：若直線過焦點，且直線平行軸，則直線過原點.
5分
設直線的方程為，，               6分
由 得，
，                                          8分
即點的坐標為，                              9分
∵直線平行軸，∴點的坐標為，                10分
∴，，
由于，
∴∥，即三點共線，                     12分
∴直線過原點．                              13分
③命題：若直線過原點，且直線平行軸，則直線過焦點.       5分
設直線的方程為，則點的坐標為，           6分
∵直線平行軸，
∴，∴，即點的坐標為，                 8分
由得，
∴即點的坐標為，                    10分
∴，
由于，
∴∥，即三點共線，                          12分
∴直線過焦點．                                13分