Question

【題目】已知函數f（x）=x+ ﹣1（x≠0），k∈R．
（1）當k=3時，試判斷f（x）在（﹣∞，0）上的單調性，并用定義證明；
（2）若對任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）當k∈R時，試討論f（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=3，x∈（﹣∞，0）時，f（x）=x﹣ ，

＞0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增．

證明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增

（2）解：設2x=t，則t＞0，f（t）=t+ ，

①當k＞0時，f′（t）=1﹣ ，

t= 時，f′（t）=0，且f（t）取最小值，

f（ ）= =2 ﹣1，

當k 時，f（ ）=2 ﹣1＞0，

當0＜k≤ 時，f（ ）=2 ﹣1≤0，

∴k＞ 時，f（2x）＞0成立；0＜k≤ 時，f（2x）＞0不成立．

②當k=0時，f（t）=t﹣1，

∵t∈（0，+∞），不滿足f（t）恒大于0，∴舍去．

③當k＜0時，f 恒大于0，

∵ ，且f（x）在（0，+∞）內連續，

∴不滿足f（t）＞0恒成立．

綜上，k的取值范圍是（ ，+∞）

（3）解：①當k=0時，f（x）=x﹣1，有1個零點．

②當k＞0時，

（i）當x＞0時，f（x）=x+ ﹣1，f′（x）=1﹣ ，

當x= 時，f（x）取極小值，且f（x）在（0，+∞）內先減后增，

由f（x）函數式得 ，

f（ ）=2 ﹣1，

當k= 時，f（ ）=0，f（x）在（0，+∞）內有1個零點，

當k＞ 時，f（ ）＞0，f（x）在（0，+∞）內有0個零點，

當0＜k＜ 時，f（ ）＜0，f（x）在（0，+∞）內有2個零點．

（ii）當x＜0時，f（x）=x﹣ ﹣1，f′（x）=1+ ，

f′（x）恒大于0，∴f（x）在（﹣∞，0）單調遞增，

由f（x）表達式，得： ， ，

∴f（x）在（﹣∞，0）內有1個零點．

綜上，當k=0時，f（x）有1個零點；當0＜k＜ 時，f（x）有3個零點；當k= 時，f（x）有2個零點；當k＞ 時，f（x）有1個零點．

③當k＜0時，同理k＞0的情況：

當﹣ ＜k＜0時，f（x）有3個零點；當k=﹣ 時，f（x）有2個零點；當k＜﹣ 時，f（x）有1個零點．

綜上所述，當k=0或k＞ 或k＜﹣ 時，f（x）有1個零點；

當k= 或k=﹣ 時，f（x）有2個零點；

當0＜k＜ 或﹣ ＜k＜0時，f（x）有3個零點

【解析】（1）當k=3，x∈（﹣∞，0）時，f（x）=x﹣ ， ＞0，f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增．利用定義法能進行證明．（2）設2x=t，則t＞0，f（t）=t+ ，根據k＞0，k=0，k＜0三個情況進行分類討論經，能求出k的取值范圍．（3）根據k=0，k＞0，k＜0三種情況分類討論，利用導數性質能求出f（x）的零點個數．