Question

【題目】已知平行四邊形ABCD（如圖1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是線段A1C的中點（如圖2）．
（1）求證：BF∥面A1DE；
（2）求證：面A1DE⊥面DEBC；
（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取DA1的中點G，連FG，GE；

F為A1C中點；

∴GF∥DC，且 ；

∴四邊形BFGE是平行四邊形；

∴BF∥EG，EG平面A1DE，BF平面A1DE；

∴BF∥平面A1DE

（2）證明：如圖，取DE的中點H，連接A1H，CH；

AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點；

∴△DAE為等邊三角形，即折疊后△DA1E也為等邊三角形；

∴A1H⊥DE，且 ；

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；

根據余弦定理，可得：

HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中， ， ，A1C=4；

∴ ，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；

∴A1H⊥面DEBC；

又A1H面A1DE；

∴面A1DE⊥面DEBC；

（3）解：如上圖，過H作HO⊥DC于O，連接A1O；

A1H⊥面DEBC；

∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；

∴DC⊥面A1HO；

∴DC⊥A1O，DC⊥HO；

∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；

在Rt△A1HO中， ， ；

故tan ；

所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值為2．

【解析】（1）取A1D中點G，并連接FG，EG，能夠說明四邊形BFGE為平行四邊形，從而根據線面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根據已知的邊、角值說明△A1DE為等邊三角形，然后取DE中點H，連接CH，從而得到A1H⊥DE，根據已知的邊角值求出A1H，CH，得出 ，從而得到A1H⊥CH，從而根據線面垂直及面面垂直的判定定理即可證出面A1DE⊥面DEBC；（3）過H作HO⊥DC，垂足為O，并連接A1O，容易說明DC⊥面A1HO，從而得出∠A1OH為二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能夠求出HO，從而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．