Question

已知拋物線C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段．
（Ⅰ）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分．

Answer 1

分析：（1）先分別求出各自在某點處的切線，然后根據是公切線建立等量關系，要使C₁和C₂有且僅有一條公切線，可利用判別式進行判定；
（2）分別求出C₁和C₂有兩條公切線段的中點坐標，發現兩者相等，從而證明了相應的兩條公切線段互相平分．

解答：解：（Ⅰ）函數y=x²+2x的導數y′=2x+2，
曲線C₁在點P（x₁，x₁²+2x₁）的切線方程是：
y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁），
即y=（2x₁+2）x-x₁²①
函數y=-x²+a的導數y′=-2x，
曲線C₂在點Q（x₂，-x₂²+a）的切線方程是
即y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）．
y=-2x₂x+x₂²+a．②
如果直線l是過P和Q的公切線，
則①式和②式都是l的方程，
x₁+1=-x₂，所以-x₁²=x₂²+a．
消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0．
若判別式△=4-4×2（1+a）=0時，
即a=-

1

2

時解得x₁=-

1

2

，此時點P與Q重合．
即當a=-

1

2

時C₁和C₂有且僅有一條公切線，
由①得公切線方程為y=x-

1

4

．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知．
當a＜-

1

2

時C₁和C₂有兩條公切線
設一條公切線上切點為：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
其中P在C₁上，Q在C₂上，則有x₁+x₂=-1，
y₁+y₂=x₁²+2x₁+（-x₂²+a）=x₁²+2x₁-（x₁+1）²+a=-1+a．
線段PQ的中點為(-

1

2

，

-1+a

2

)．
同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是(-

1

2

，

-1+a

2

)
所以公切線段PQ和P′Q′互相平分．

點評：本小題主要考查導數、切線等知識及綜合運用數學知識解決問題的能力，屬于中檔題．