Question

已知拋物線C₁：y=x²，F為拋物線的焦點，橢圓C₂：

x2

2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF|=

3

4

，求實數a的值；
（2）設直線l：y=kx+1與拋物線C₁交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C₂交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k 2＞

1

2

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用|MF|=

3

4

，及橢圓方程，即可求實數a的值；
（2）設出直線方程，分別與拋物線、橢圓方程聯立，求出R，S的坐標，利用

OS

•

OR

=0，結合條件，即可求得結論．

解答：解：（1）設M（x，y），|MF|=y+

1

4

=

3

4

，y=

1

2

，x²=

1

2

，代入

x2

2

+

y2

a2

=1，

1

4

+

1 4

a2

=1，
∴a²=

1

3

，又0＜a＜2，∴a=

3

3

；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點R（x_R，y_R），
y=kx+1，代入拋物線方程可得到x²-kx-1=0，
x₁+x₂=k，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=k²+2，∴R（

k

2

，

k2+2

2

）
設P（x₃，y₃），B（x₄，y₄），PQ中點S（x_S，y_S），
y=kx+1，代入橢圓方程可得到（2k²+a²）x²+4kx+2-2a²=0，
∴x₃+x₄=

-4k

2k2+a2

，y₃+y₄=k（x₃+x₄）+2=

2a2

2k2+a2

，
∴S（

-2k

2k2+a2

，

a2

2k2+a2

），
由條件知，

OS

•

OR

=0，∴

-2k2

2(2k2+a2)2

+

a2(k2+2)

2(2k2+a2)

=0，
∴-2k²+a²（k²+2）=0，
∴a²=2-

4

k2+2

，
∵k2＞

1

2

，∴k2+2＞

5

2

∴

4

k2+2

∈(0，

8

5

)，
∴a²∈（

2

5

，2），
又0＜a＜2，∴a∈(

10

5

，

2

)，此時△＞0恒成立

點評：本題考查直線與拋物線、橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．