Question

已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a．a取何值時C₁和C₂有且僅有一條公切線l，求出公切線l的方程．

Answer 1

分析：分別求出切線方程，從而可得方程，利用公切線有且僅有一條，即可求得結論．

解答：解：函數y=x²+2x的導數為y′=2x+2，在切點P（x1，x12+2x）處的切線方程為y=(2x1+2)x-x12
同理，曲線C₂的在切點Q（x₂，2x₂）的切線方程為y=-2x2x+x22+a
由

x1+1=-x2 -x12=x22+a

可得2x12+2x1+1+a=0，因為公切線有且僅有一條，所以△=0
∴a=-

1

2

時，P，Q重合，公切線方程為：y=x-

1

4

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．