Question

【題目】如圖所示的四棱錐中，底面為矩形， ， 的中點為, ，異面直線與所成的角為， 平面.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）由已為矩形，可得為的中點.結合為的中點，根據三角形中位線定理可得， ，由線面平行的判定定理可得結果；（2）由（1）可知，所以或，先證明，可得，因為， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，平面的一個法向量為，再求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（1）由已知為矩形，且，所以為的中點.

又因為為的中點，所以在中， ，又因為平面， 平面，

因此平面.

（2）由（1）可知，所以異面直線與所成的角即為 (或的補角).

所以或.

設，在中， ， ，又由平面可知，且為中點，因此，此時，所以，所以為等邊三角形，所以，即，因為， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則， ， ， ，所以， .

由， ， ，可得平面，可取平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為，由

令，所以.

因此 ，又二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.