Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點到點的距離最大值為4，過點的直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）由離心率及可得關于的方程，由此可簡化橢圓方程，設，則可表示為的函數，據此可求得其最大值，解得，即可求出橢圓的方程；（2）設， ， ， 的方程為，與橢圓聯立方程消掉得關于的一元二次方程，由得，由韋達定理及可用表示出點的坐標，代入橢圓方程得，再由弦長公式及可得，即可求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵

∴，則橢圓方程為，即

設，則

當時， 有最大值為，

解得

∴，橢圓方程是

（2）設， ， ， 的方程為，

由，整理得

由，得

， ，

∴，

則，

由點在橢圓上，得

化簡得①

又由，即

，將， 代入得

，

化簡，得，

則

∴②

由①，得，

聯立②，解得

∴或