Question

函數f(x)=ax³-2bx²+cx+4d (a,b,c,d∈R)的圖象關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值為-.
（1）求a,b,c,d的值；
（2）證明：當x∈［-1，1］時，圖象上不存在兩點使得過此兩點處的切線互相垂直；
（3）若x₁,x₂∈［-1，1］時，求證：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

（1）a=,c=-1，b=0，d=0（2）證明略（3）證明略

（1）解 ∵函數f(x)的圖象關于原點對稱，
∴對任意實數x有f(-x)=-f(x),
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d,
即bx²-2d=0恒成立.
∴b=0，d=0,∴f（x）=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.
∵x=1時，f(x)取極小值-,
∴3a+c=0,a+c=-.解得a=,c=-1.
（2）證明 假設圖象上存在兩點A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f′(x)=x²-1,知兩點處的切線斜率分別為k₁=x-1,k₂=x-1,且(x-1)·(x-1)=-1.（*）
∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x-1≤0，x-1≤0，
∴（x-1）·（x-1）≥0.這與(*)式相矛盾，故假設不成立.
∴圖象上不存在符合條件的兩點.
（3）證明 令f′(x)=x²-1=0,則x=±1.
∴當x∈（-∞,-1）或x∈(1,+∞)時，f′(x)＞0;
x∈(-1,1)時f′(x)＜0.
∴f(x)在［-1，1］上是減函數，且f(x)_max=f(-1)=,
f(x)_min=f(1)=-.
∴在［-1，1］上，|f(x)|≤,∴當x₁,x₂∈［-1，1］時，
|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.