Question

【題目】已知函數(shù)，若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點.

（1）比較與的大小；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1），見解析（2）見解析

【解析】

方法一：利用，利用對不等式進(jìn)行放縮，可得

，

進(jìn)而利用單調(diào)遞增，且和，即可比較與的大小

方法二：設(shè)，令函數(shù)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較與的大小

(2) 令函數(shù)，則，要證，即證，只要證：，最后通過證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行證明即可.

（1）解:

方法一：

因為，所以，所以.

因為，且單調(diào)遞增，所以

方法二：設(shè)，

令函數(shù)

則，則

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以

所以

因為，且單調(diào)遞增，所以

（2）證明：令函數(shù)，

則.

要證，即證

只要證：，

只要證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

由題意得

因為

所以

所以

因為單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以原命題得證.