Question

已知函數f（x）=cosx•sinx，給出下列五個說法：
①f（

1921π

12

）=

1

4

；
②若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
③f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞增； 
④將函數f（x）的圖象向右平移

3π

4

個單位可得到y=

1

2

cos2x的圖象；
⑤f（x）的圖象關于點（-

π

4

，0）成中心對稱．
其中正確說法的序號是

①

．

Answer 1

分析：利用三角公式和三角函數的圖象和性質分別進行判斷即可．

解答：解：f（x）=cosx•sinx=

1

2

sin2x，為奇函數．
①f（

1921π

12

）=f（

π

12

）=

1

2

sin

π

6

=

1

2

×

1

2

=

1

4

，正確；
②由f（x₁）=-f（x₂）=f（-x₂），知x₁=-x₂+2kπ?或x₁=π-x₂+2kπ?，k∈Z；所以②錯誤．
③令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，由復合函數性質知f（x）在每一個閉區間[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]上單調遞增，但[-

π

6

，

π

3

]?[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，故函數f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上不是單調函數；所以③錯誤．
④將函數f（x）的圖象向右平移

3π

4

個單位可得到y=

1

2

sin?2(x-

3π

4

)=

1

2

sin?(2x-

3π

2

)=

1

2

cos?2x，所以④錯誤；
⑤函數的對稱中心的橫坐標滿足2x₀=kπ，解得x0=

kπ

2

，即對稱中心坐標為(

kπ

2

，0)，則點（-

π

4

，0）不是其對稱中心．所以⑤錯誤．
故答案為①．

點評：本題主要考查與三角函數有關的命題的真假判斷，利用三角函數的圖象和性質是解決三角函數題目的關鍵．