Question

已知函數f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g（x）=x²-2bx+4，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），則實數b的取值范圍是（　�。�

• A．（2，

  17

  8

  ]
• B．[1，+∞）
• C．[

  17

  8

  ，+∞）
• D．[2，+∞）

Answer 1

分析：首先對f（x）進行求導，利用導數研究函數f（x）的最值問題，根據題意對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，對g（x）的圖象進行討論根據對稱軸研究g（x）的最值問題，從而進行求解；

解答：解：∵函數f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

+

-3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=-

(x-1)(x-3)

4x2

，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-

1

4

+

3

4

-1=-

1

2

；
∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，對稱軸x=b，x∈[1，2]，
當b≤

3

2

時，g（x）在x=1處取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
當b＞

3

2

時，g（x）在[1，2]上是減函數，g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當b≤

3

2

時，-

1

2

≥5-2b，解得b≥

11

4

，故b無解；當b＞

3

2

時，-

1

2

≥8-4b，解得b≥

17

8

，
綜上：b≥

17

8

，
故選C；

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，此題還涉及函數的恒成立問題，注意問題最終轉化為求函數的最值問題上；