Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn（n∈N*），且滿足： ①|a1|≠|a2|；
②r（n﹣p）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．
（1）求p的值；
（2）數列{an}能否是等比數列？請說明理由；
（3）求證：當r=2時，數列{an}是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．

∴1﹣p=0，解得p=1

（2）解：設an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3=6a2，2rS4=12a3+4a1，

化為：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．聯立解得r=2，k=1（不合題意），舍去，因此數列{an}不是等比數列

（3）解：證明：r=2時，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3=6a2，4S4=12a3+4a1，6S5=20a4+10a1．

化為：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假設數列{an}的前n項成等差數列，公差為d．

則2（n﹣1） =（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化為an+1=a1+（n+1﹣1）d，

因此第n+1項也滿足等差數列的通項公式，

綜上可得：數列{an}成等差數列

【解析】（1）n=1時，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．可得1﹣p=0，解得p．（2）設an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得rS3=6a2 ， 2rS4=12a3+4a1 ， 化為：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．聯立解得r，k，即可判斷出結論．（3）r=2時，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得2S3=6a2 ， 4S4=12a3+4a1 ， 6S5=20a4+10a1 ． 化為：a1+a3=2a2 ， a2+a4=2a3 ， a3+a5=2a4 ． 假設數列{an}的前n項成等差數列，公差為d．利用已知得出an+1 ， 即可證明．
【考點精析】通過靈活運用等差關系的確定和等比關系的確定，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷即可以解答此題．