Question

【題目】交大設計學院植物園準備用一塊邊長為4百米的等邊ΔABC田地(如圖)建立芳香植物生長區、植物精油提煉處與植物精油體驗點.田地內擬建筆直小路MN、AP,其中M、N分別為AC、BC的中點,點P在CN上.規劃在小路MN和AP的交點O(O與M、N不重合)處設立植物精油體驗點,圖中陰影部分為植物精油提煉處,空白部分為芳香植物生長區,A、N為出入口(小路寬度不計).為節約資金,小路MO段與OP段建便道,供芳香植物培育之用,費用忽略不計,為車輛安全出入,小路AO段的建造費用為每百米4萬元,小路ON段的建造費用為每百米3萬元.

(1)若擬建的小路AO段長為百米,求小路ON段的建造費用；

(2)設∠BAP=,求的值,使得小路AO段與ON段的建造總費用最小,并求岀最小建造總費用(精確到元).

Answer 1

【答案】(1) 小路ON段的建造費用為3萬元.

(2) 當時，小路AO段與ON段的建造總費用最小，最小費用約為元.

【解析】

(1) 在△ 中，，，∠，利用余弦定理可求解長度，結合即可求解；

（2）在△ 中，，∠，，，利用正弦定理可求,結合,可建立關于的函數，利用導數即可判斷最值.

(1)由為中點,得 ,在△ 中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造費用為3萬元.

（2）在△ 中,∠，,由正弦定理可得，，即， ，故小路AO段與ON段的建造總費用為

，

則，令，得，，令，得，，故當時，小路AO段與ON段的建造總費用最小，由，得，故最小費用為元.