Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其邊長為2，E、F分別是AD，A₁B₁的中點，G、H是BB₁，BC的兩個動點，
（1）若直線FG與EH相交于點P，求證：P∈AB
（2）在（1）的條件下，若G是BB₁，的中點，求GH的長．

Answer 1

分析：（1）可通過證明點P∈面AB₁，P∈面AC，故點P在兩個平面的交線上證明點在線上；
（2）先在圖形中找到線段GH，觀察其所在的位置，將其納入三角形GBH中，用勾股定理求解其值．

解答：解：（1）證：由題，FG∩EH=P
又FG?面ABB₁A₁，EH?面ABCD
∴P∈面AB₁，P∈面AC
又面AB₁∩面AC=AB，由公理三知，P∈AB
（2）因G為中點，且FB₁∥BP，所以Rt△FGB₁≌Rt△GBP
所以BP=FB₁=1，
又△BPH∽△APE，所以BH=

BP

AP

×AE=

1

3

，
在Rt△GBH中，GH=

BH2+GB2

=

( 1 3 )2+1

=

10

3

即GH的長為

10

3

點評：本題考查點、線、面間的距離計算，解題的關鍵是根據所給的幾何圖形幾何特征得出兩點間的線段所在位置的幾何特征，根據所得的幾何特征進行計算求出點線面的距離，本題考查了空間想像能力及數形結合的技巧