Question

【題目】設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若a+b+c=1+ ，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinA+sinB=[cosA﹣cos（π﹣B）]sinC，

∴sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

由正弦定理和余弦定理得，

a+b=（ + ）c，

化簡得，2a2b+2ab2=ab2+ac2﹣a3+ba2+bc2﹣b3

a2b+ab2=ac2﹣a3+bc2﹣b3，

（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，

又a+b＞0，∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，

∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°

（2）解：∵a+b+c=1+ ，a2+b2=c2，

∴1+ =a+b+ ≥2 + =（2+ ）

當且僅當a=b時上式等號成立，則 ≤ = ，

∴S△ABC= ab≤ × = ，

即△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由誘導公式、正弦定理和余弦定理化簡已知的式子，化簡后由邊的關系判斷出三角形的形狀；（2）由（1）和條件化簡后，由基本不等式化簡求出 的范圍，表示三角形的面積，即可求出答案．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．