Question

【題目】已知橢圓過點，，其上頂點到直線的距離為2，過點的直線與，軸的交點分別為、，且.

（1）證明：為定值；

（2）如上圖所示，若，關于原點對稱，，關于原點對稱，且，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）其上頂點到直線的距離為2，求出，點代入橢圓方程，可求出橢圓方程，設經過點的直線方程為：，可得，.利用，可得，利用兩點之間的距離公式可得；

（2）由（1）得直線的方程為，與橢圓方程聯立求出，由點到直線距離公式，求出到直線距離，求出四邊形面積的關于的表達式，結合關系，由基本不等式求出最大值.

（1）其上頂點到直線的距離為2，

，解得.

又橢圓過點，

，解得.

∴橢圓的標準方程為：.

點在橢圓上，.

設經過點的直線方程為：，

可得，.

，即.

為定值.

（2）由（1）得直線斜率為，

方程為，

即，，

聯立解得，

，

點到直線的距離為，

當且僅當，即時，等號成立，

，

四邊形面積的最大值為.