Question

【題目】已知函數，.

（1）若存在極小值，求實數的取值范圍；

（2）設是的極小值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）先求得導函數，根據定義域為，可構造函數，通過求導及分類討論，即可求得的取值范圍。

（2）由（1）令，通過分離參數得，同時求對數，根據函數，可得。構造函數及，由導數即可判斷的單調情況，進而求得的最小值，結合即可證明不等式成立。

（1）.

令，

則，

所以在上是增函數.

又因為當時，；

當時，.

所以，當時，，，函數在區間上是增函數，不存在極值點；

當時，的值域為，

必存在使.

所以當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增；

所以存在極小值點.

綜上可知實數的取值范圍是.

（2）由（1）知，即.

所以，

.

由，得.

令，顯然在區間上單調遞減.

又，所以由，得.

令，

，

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

所以，當時，函數取最小值，

所以，即，即，

所以，，

所以，

即.