Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．

（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）求PD與平面PCE所成角的正弦值；
（3）在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求 的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設PA中點為G，連結EG，DG．

因為PA∥BE，且PA=4，BE=2，

所以BE∥AG且BE=AG，

所以四邊形BEGA為平行四邊形．

所以EG∥AB，且EG=AB．

因為正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，

所以EG∥CD，且EG=CD．

所以四邊形CDGE為平行四邊形．

所以CE∥DG．

因為DG平面PAD，CE平面PAD，

所以CE∥平面PAD．

（2）解：如圖建立空間坐標系，

則B（4，0，0），C（4，4，0），

E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），

所以 =（4，4，﹣4）， =（4，0，﹣2）， =（0，4，﹣4）．

設平面PCE的一個法向量為 =（x，y，z），

所以 ，可得 ．

令x=1，則 ，所以 =（1，1，2）．

設PD與平面PCE所成角為a，

則sinα=|cos＜ ， ＞|=| =| |= ．．

所以PD與平面PCE所成角的正弦值是 ．

（3）解：依題意，可設F（a，0，0），則 ， =（4，﹣4，2）．

設平面DEF的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ．

令x=2，則 ，

所以 =（2， ，a﹣4）．

因為平面DEF⊥平面PCE，

所以 =0，即2+ +2a﹣8=0，

所以a= ＜4，點 ．

所以 ．

【解析】（1）設PA中點為G，連結EG，DG，可證四邊形BEGA為平行四邊形，又正方形ABCD，可證四邊形CDGE為平行四邊形，得CE∥DG，由DG平面PAD，CE平面PAD，即證明CE∥平面PAD．（2）如圖建立空間坐標系，設平面PCE的一個法向量為 =（x，y，z），由 ，令x=1，則可得 =（1，1，2），設PD與平面PCE所成角為a，由向量的夾角公式即可得解．（3）設平面DEF的一個法向量為 =（x，y，z），由 ，可得 ，由 =0，可解a，然后求得 的值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．