Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：函數有且僅有一個零點；

（Ⅲ）當時，寫出函數的零點的個數.（只需寫出結論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當時， 有一個零點；當且時， 有兩個零點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求得函數的導函數，得到， ，進而得到切線的方程.

（Ⅱ）當時，求得函數的導數，得，則為單調遞增函數，又由，進而得到在單調遞減，在單調遞增，所以函數的最小值為，即可證明結論；

（Ⅲ）根據函數的單調性和極值，可得當和且時時， 零點的個數.

試題解析：

（Ⅰ）因為函數,所以

故， ， 曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當時，令，則

故是上的增函數.

由，故當時， ，當時， .

即當時， ，當時， .

故在單調遞減，在單調遞增.

函數的最小值為，由，故有且僅有一個零點.

（Ⅲ）當時， 有一個零點；當且時， 有兩個零點.