Question

【題目】已知函數(shù) ,其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè),若函數(shù)對(duì)任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為 ；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為 ；(2) .

【解析】試題分析：（1）通過函數(shù)，得，然后結(jié)合與0的關(guān)系對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論即可；（2）對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論：當(dāng)a<0時(shí)， 不可能恒成立；當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0；當(dāng)a＞0時(shí)，由題結(jié)合（1）得，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用導(dǎo)函數(shù)即可．

試題解析：：（1）由函數(shù)，可知，

時(shí)， ，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得，

故當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增且當(dāng)時(shí)， 不可能恒成立；

當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0；

當(dāng)a>0時(shí)，由函數(shù)對(duì)任意x∈R都成立，可得，

∵，

設(shè)，則，

由于，令，得

時(shí)， 單調(diào)遞增；

時(shí)， 單調(diào)遞減．

，即當(dāng)時(shí)，ab的最大值為．