Question

已知函數在[0，3]上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．

Answer 1

（0，）
分析：將原函數f（x）=log_a（3-ax²）看作是函數：y=log_aμ，μ=3-ax²的復合函數，利用對數函數與二次函數的單調性來研究即可．注意對數的真數必須大于0．
解答：設μ=3-ax²，
則原函數f（x）=log_a（3-ax²）是函數：y=log_aμ，μ=3-ax²的復合函數，
①當a＞1時，y=log_au在（0，+∞）上是增函數，
而函數μ=3-ax²在[0，3]上是減函數，
根據復合函數的單調性，得函數f（x）在[0，3]上單調遞減，與題意不符；
②當0＜a＜1時，y=log_au在（0，+∞）上是減函數，
函數μ=3-ax²在[0，3]上是減函數，
根據復合函數的單調性，得函數f（x）在[0，3]上單調遞增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有，解得0＜a＜．
綜①②，得實數a的取值范圍為（0，）．
故答案為：（0，）．
點評：本題考查復合函數的單調性，對數函數的單調性，二次函數的單調性．是基礎題．熟練掌握基本初等函數的單調性及其單調區間，理解并掌握判斷復合函數單調性的方法：同增異減．