Question

已知函數f(x)=lg(

3-x

3+x

)，其中 x∈（-3，3）．
（1）判別函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數f（x）在（-3，3）上單調性；
（3）是否存在這樣的負實數k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0對一切θ∈R恒成立，若存在，試求出k取值的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性的定義判斷．（2）利用函數的單調性進行證明．（3）利用函數的單調性和三角函數的性質求恒成立問題．

解答：解：（1）因為函數的定義域關于原點對稱，由f(-x)=lg

3+x

3-x

=lg(

3-x

3+x

)-1=-lg(

3-x

3+x

)=-f(x)．
所以f（x）是奇函數．
（2）任取-3＜x₁＜x₂＜3，
則f(x1)-f(x2)=lg

3-x1

3+x1

-lg

3-x2

3+x2

=lg

(3-x1)(3+x2)

(3+x1)(3-x2)

=lg

9+3(x2-x1)-x1x2

9+3(x1-x2)-x1x2

因為9+3（x₂+x₁）-x₁x₂＞9-3（x₂+x₁）-x₁x₂＞0，
所以

9+3(x2+x1)-x1x2

9-3(x2+x1)-x1x2

＞1，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）是（-3，3）上的減函數；
（3）因為f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0且f（x）是（-3，3）上的減函數，
所以f（cos²θ-k²）≥-f（k-cosθ）=f（cosθ-k），
即

k＜0 -3＜k-cosθ＜3 -3＜cos2θ-k2＜3 k-cos?θ≤k2-cos2θ

恒成立．
由k-cosθ≤k²-cos²θ得，k-k²≤cosθ-cos²θ恒成立．
設y=cos?θ-cos²θ=-(cosθ-

1

2

)2+

1

4

．
因為-1≤cosθ≤1，所以-2≤y≤

1

4

，
所以k-k²≤-2，解得k≤-1．

同理：由-3＜k-cosθ＜3，
得：-2＜k＜2．
由-3＜cos²θ-k²＜3，得：-

3

＜k＜

3

，
即綜上所得：-

3

＜k≤-1．
所以存在這樣的k其范圍為：-

3

＜k≤-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，以及函數恒成立問題，綜合性較強，運算量較大．