Question

已知定義域是（0，+∞）的函數f（x）滿足；
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
（2）當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出下列結論：
①對任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=0；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3^k，3^k+1）．”
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：依據題中條件注意研究每個選項的正確性，連續利用題中第（1）個條件得到①正確；連續利用題中第①②個條件得到②正確，③錯誤；對于④，令3^k≤a＜b≤3^k+1，
利用函數單調性的定義判斷即可．

解答：解：①∵對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
∴f（3^m）=f（3•3^m-1）=3f（3^m-1）=…=3^m-1f（3）=0，故①正確；
②取x∈（3^m，3^m+1]，則

x

3m

∈（1，3]，
f（

x

3m

）=3-

x

3m

，f（

x

3

）=…=3^mf（

x

3m

）=3^m+1-x，從而函數f（x）的值域為[0，+∞）；即②正確；=3m+1-x，
從而f（x）∈[0，+∞），故②正確；
③∵x∈（1，3]時，f（x）=3-x，對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3ⁿ+1）=3ⁿf（1+

1

3n

）=3ⁿ[3-（1+

1

3n

）]=3ⁿ（2-

1

3n

）≠0，故③錯誤；
④令3^k≤a＜b≤3^k+1，
則1≤

a

3k

＜

b

3k

≤3，
∴f（a）-f（b）=f（3^k•

a

3k

）-f（3^k•

b

3k

）=3^k[f（

a

3k

）-f（

b

3k

）]=3^k[（3-

a

3k

）-（3-

b

3k

）]=3^k（

b

3k

-

a

3k

）=b-a＞0，
∴函數f（x）在區間（a，b））⊆（3^k，3^k+1）上單調遞減，
故④正確；
綜上所述，正確結論的序號是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題通過抽象函數，考查了函數的周期性，單調性，以及學生的綜合分析能力，難度大，屬于難題．