Question

已知定義域是全體實數(shù)的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2π）=f（x），且函數(shù)g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，函數(shù)h（x）=

f(x)-f(-x)

2

．現(xiàn)定義函數(shù)p（x），q（x）為：p（x）=

g(x)-g(x+π) 2cosx (x≠kπ+ π 2 ) 0         (x=kπ+ π 2 )

，q（x）=

h(x)+h(x+π) 2sin2x (x≠ kπ 2 ) 0      (x= kπ 2 )

，其中k∈Z，那么下列關(guān)于p（x），q（x）敘述正確的是（　　）

A．都是奇函數(shù)且周期為π

B．都是偶函數(shù)且周期為π

C．均無奇偶性但都有周期性

D．均無周期性但都有奇偶性

Answer 1

分析：先求出g（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=g（x），再利用f（x）的周期為2π，可推出g（x+π）=g（x-π），故g（x）周期為
2π，在此基礎(chǔ)上推出p（-x）=p（x），p（x+π）=p（x），即p（x）是偶函數(shù)且周期為π，同理可得q（x）
也是偶函數(shù)且周期為π．

解答：解：∵g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，∴g（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=g（x） 且g（x+π）=

f(x+π)+f(-x-π)

2

=

f(x-π)+f(-x+π)

2

=g（x-π），即g（x）周期為2π．
∴x≠kπ+

π

2

時，p（-x）=

g(-x)-g(-x+π)

2cos(-x)

=

g(x)-g(x-π)

2cosx

=

g(x)-g(x+π)

2cosx

=p(x)，
且p（x+π）=

g(x+π)-g(x+2π)

2cos(x+π)

=

g(x+π)-g(x)

-2cosx

=p(x)，由此可得p（x）是偶函數(shù)且周期為π，
同理可得q（x）也是偶函數(shù)且周期為π．
故選B．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性及其周期性，此類考點具有很強的抽象性，因而難度較大．