Question

已知定義域為（0，+∞）函數f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x²-2x+2．函數g（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，則函數g（x）在區間[-2，-

1

2

]上的值域是

[2，

5

2

]

．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）滿足（x-1）f（x-1）=x²-2x+2，可求出函數f（x）的解析式，進而得到函數g（x）的解析式，結合x∈[-2，-

1

2

]，可得函數的最值，從而可求得函數的值域．

解答：解：由（x-1）f（x-1）=x²-2x+2，得f（x-1）=

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

，
∴f（x）=x+

1

x

（x＞0），
則g（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

=

x+ 1 x ，x＞0 -x- 1 x ，x＜0

，
當x∈[-2，-

1

2

]時，g（x）=-x-

1

x

，g′（x）=-1+

1

x2

=

(1+x)(1-x)

x2

，
當x∈[-2，-1）時，g′（x）＜0，g（x）遞增；當x∈（-1，-

1

2

]時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴x=-1時g（x）取得最小值為g（-1）=2，
又g（-2）=g（-

1

2

）=

5

2

，∴g（x）的最大值為

5

2

，
故函數g（x）在區間[-2，-

1

2

]上的值域為：[2，

5

2

]．
故答案為：[2，

5

2

]．

點評：本題考查函數單調性及其應用，屬中檔題，解決本題的關鍵是利用根據已知條件先求得f（x）．