Question

已知定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=3，則方程f(x)=2+

x

的解的個數是

0

．

Answer 1

分析：先化簡方程，并畫出圖象，進而利用指數函數和對數函數類型的單調性的快慢程度即可得出答案．

解答：解：∵定義域為（0，+∞）的單調函數f（x），對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log

1

2

x)=3，方程f(x)=2+

x

，
∴f（2+

x

+log

1

2

x）=3，
∴2+

2+ x +log 1 2 x

=3，
∴2+

x

+log

1

2

x=1，即1+

x

-log2x=0．
作出函數y=1+

x

，y=log₂x的圖象：
根據指數函數和對數函數類型的單調性增長的快慢可知：y=1+

x

先慢后快，而函數y=log₂x先快后慢，
故兩個函數的圖象沒有交點．
∴方程f(x)=2+

x

的解的個數為0．
故答案為0．

點評：正確理解指數函數和對數函數類型的單調性增長的快慢程度是解題的關鍵．