Question

在某兩個正數x,y之間,若插入一個數a,使x,a,y成等差數列,若插入兩個數b,c,使x,b,c,y成等比數列,求證:(a+1)²≥(b+1)(c+1).

Answer 1

見解析

證明:方法一:由條件得
消去x,y即得:2a=+,且有a>0,b>0,c>0,
要證(a+1)²≥(b+1)(c+1),
只需證a+1≥,
因為≤=+1,
所以只需證2a≥b+c,而2a=+,
所以只需證+≥b+c,
即b³+c³≥bc(b+c),(b+c)(b²+c²-bc)≥bc(b+c),
而b+c>0,則只需證b²+c²-bc≥bc,
即(b-c)²≥0,上式顯然成立.
所以原不等式成立.
方法二:由等差、等比數列的定義知:
用x,y表示a,b,c得
所以(b+1)(c+1)=(+1)(+1)
≤
=(2x+y+3)(x+2y+3)
≤
==(a+1)²,
所以原不等式成立.