Question

已知拋物線y²=4x與橢圓

x2

9

+

y2

m

=1有共同的焦點F₂．
（1）求m的值；
（2）若P是兩曲線的一個公共點，F₁是橢圓的另一個焦點，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值；
（3）求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程求得其焦點即橢圓的焦點坐標，進而根據a和b，c的關系求得m．
（2）先設出P的坐標，代入橢圓和拋物線方程消去y，求得P點橫坐標，根據x=-1是y²=4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F₁．設點P到拋物線y²=4x的準線的距離為PN，則可知|PF₂|=|PN|根據拋物線定義可知|PN|=x₁+1進而求得|PF₂|和|PF₁|，過點P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，分別在Rt△PP₁F₁中而后Rt△PP₁F₂中求得cosα和cosβ，最后答案可得．
（3）根據（2）中的P的橫坐標求得|PP₁|，進而根據三角形面積公式求得答案．

解答：解：（1）依題意可知拋物線焦點為（1，0），
∴橢圓的半焦距c=1，即9-m=1，m=8
（2）設P（x₁，y₁）
由

x 12 9 + y 12 8 =1 y 2 1 =4x1

得 2x²₁+9x₁-18=0，∴x₁=

3

2

，或x₁=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F₁．設點P到拋物線y²=4x的準線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x₁+1=

5

2

，
∴|PF₂|=

5

2

，|PF₁|=2a-

5

2

=

7

2

．
過點P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=

5

7

在Rt△PP₁F₂中，cos（л-β）=

1

5

，cosβ=-

1

5

，∴cosαcosβ=-

1

7

．
（3）∵x₁=

3

2

，∴|PP₁|=

6

，
∴S_△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•|P₁P₂|=

6

．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生對圓錐曲線知識的綜合把握．