Question

已知拋物線y²=4x，焦點為F，頂點為O，點P（m，n）在拋物線上移動，Q是OP的中點，M是FQ的中點．
（1）求點M的軌跡方程．
（2）求

n

m+3

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出y²=4x的焦點F的坐標，利用M是FQ的中點，Q是OP的中點，分別推出M，P，Q的坐標故選，利用P（m，n）在拋物線上，求點M的軌跡方程．
（2）通過

n

m+3

的幾何意義，直接聯立方程組，利用△≥0，求出它的取值范圍．

解答：解：（1）設M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點F的坐標為（1，0）
∵M是FQ的中點，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，
又Q是OP的中點∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在拋物線y²=4x上，
∴（4y）²=4（4x-2），
所以M點的軌跡方程為y2=x-

1

2

．
（2）

n

m+3

可看作拋物線上的點與定點（-3，0）連線的斜率，設

y

x+3

=k，

y x+3 =k y2=4x

，可得k²x²+（6k²-4）x+9k²=0，由△≥0，
可得k2≤

1

3

，
所以它的取值范圍．k∈[-

3

3

，

3

3

]．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線的斜率的應用，函數與方程的思想，考查計算能力．