Question

已知橢圓 經過點其離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求的取值范圍.

Answer 1

(1) (2) (3)

解析試題分析：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①（1分）
又點在橢圓C上，
所以②（2分）
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．（5分）
（Ⅱ）當k=0時，P（0，2m）在橢圓C上，解得，
所以．（6分）
當k≠0時，則由
消y化簡整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，
△=64k²m²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）=48（3+4k²﹣m²）＞0③（8分）
設A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則．（9分）
由于點P在橢圓C上，所以．（10分）
從而，化簡得4m²=3+4k²，經檢驗滿足③式．（11分）
又
=
=．（12分）
因為，得3＜4k²+3≤4，有，
故．（13分）
綜上，所求|OP|的取值范圍是．（14分）
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決