Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，點為左焦點，過點作軸的垂線交橢圓于、兩點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上異于點的兩點，且直線的傾斜角互補，則直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)定值

【解析】

試題分析：（1）由離心率為得，由得，聯立解得,，即可得橢圓的方程；

（2），根據題意可設直線的斜率為，則：，聯立直線與橢圓，利用韋達定理點M坐標，，，由于直線與的斜率互為相反數，只要將上述換成，就可得點N坐標，即可計算直線的斜率為定值.

試題解析：

（1）

,

橢圓的方程為：

（2），根據題意可設直線的斜率為

則：

由，得：

設，，則

于是

由于直線與的斜率互為相反數，只要將上述換成，就可得：

，

，為定值.